рациональное уравнение 4х+1/х-3=3х-8/х+1

Для решения рационального уравнения $\frac{4x + 1}{x - 3} = \frac{3x - 8}{x + 1}$ давайте выполняем следующие шаги:

1. Умножение обеих частей уравнения на знаменатели. Умножим обе стороны уравнения на $(x - 3)(x + 1)$, чтобы избавиться от дробей:

   $$(x - 3)(x + 1) \cdot \frac{4x + 1}{x - 3} = (x - 3)(x + 1) \cdot \frac{3x - 8}{x + 1}$$

   После этого у нас исчезнут дроби:

   $$(4x + 1)(x + 1) = (3x - 8)(x - 3)$$

2. Раскрытие скобок:

   С левой стороны:

   $$(4x + 1)(x + 1) = 4x^2 + 4x + x + 1 = 4x^2 + 5x + 1$$

   С правой стороны:

   $$(3x - 8)(x - 3) = 3x^2 - 9x - 8x + 24 = 3x^2 - 17x + 24$$

3. Приведение уравнения к стандартному виду. Переносим все члены на одну сторону:

   $$4x^2 + 5x + 1 = 3x^2 - 17x + 24$$

   Переносим все элементы правой стороны в левую:

   $$4x^2 + 5x + 1 - 3x^2 + 17x - 24 = 0$$

   Упростим:

   $$(4x^2 - 3x^2) + (5x + 17x) + (1 - 24) = 0$$ $$x^2 + 22x - 23 = 0$$

4. Решение квадратного уравнения. Для решения уравнения $x^2 + 22x - 23 = 0$ применяем формулу дискриминанта:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   где $a = 1$, $b = 22$, $c = -23$. Подставляем значения:

   $$D = 22^2 - 4(1)(-23) = 484 + 92 = 576$$

   Дискриминант положительный, значит, у уравнения есть два корня. Находим корни по формуле:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x = \frac{-22 \pm \sqrt{576}}{2(1)} = \frac{-22 \pm 24}{2}$$

   Таким образом, получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{-22 + 24}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-22 - 24}{2} = \frac{-46}{2} = -23$$

5. Проверка корней на допустимость. Необходимо убедиться, что полученные значения не делают знаменатели равными нулю. Проверяем:

   • При $x = 1$, знаменатели $x - 3 = 1 - 3 = -2$ и $x + 1 = 1 + 1 = 2$, оба ненулевые, значит, корень допустим.

   • При $x = -23$, знаменатели $x - 3 = -23 - 3 = -26$