Решите дробно-рациональное уравнение: (x+3)/(x-3) + (x-3)/(x+3) = 10/3

Ответы на вопрос

Отвечает Дудин Влад.

Для того чтобы решить дробно-рациональное уравнение $\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} = \frac{10}{3}$ , давайте последовательно пройдем через несколько шагов.

Шаг 1: Приведение к общему знаменателю

У нас есть два дробных выражения $\frac{x+3}{x-3}$ и $\frac{x-3}{x+3}$ . Чтобы сложить их, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для этих двух дробей будет $(x-3)(x+3)$ .

Запишем дроби с этим общим знаменателем:

\frac{x+3}{x-3} = \frac{(x+3)(x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{(x+3)^2}{(x-3)(x+3)}

\frac{x-3}{x+3} = \frac{(x-3)(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{(x-3)^2}{(x-3)(x+3)}

Теперь у нас оба выражения имеют общий знаменатель, и мы можем их сложить:

\frac{(x+3)^2 + (x-3)^2}{(x-3)(x+3)} = \frac{10}{3}

Шаг 2: Упростим числитель

Теперь упростим числитель:

(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9

(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9

Добавляем эти выражения:

(x+3)^2 + (x-3)^2 = (x^2 + 6x + 9) + (x^2 - 6x + 9) = 2x^2 + 18

Теперь у нас уравнение принимает вид:

\frac{2x^2 + 18}{(x-3)(x+3)} = \frac{10}{3}

Шаг 3: Умножим обе стороны на общий знаменатель

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе стороны уравнения на $(x-3)(x+3)$ :

2x^2 + 18 = \frac{10}{3} \cdot (x-3)(x+3)

Напомним, что $(x-3)(x+3) = x^2 - 9$ . Таким образом, уравнение превращается в:

2x^2 + 18 = \frac{10}{3} \cdot (x^2 - 9)

Шаг 4: Умножим обе стороны на 3

Теперь умножим обе стороны уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

3 \cdot (2x^2 + 18) = 10 \cdot (x^2 - 9)

6x^2 + 54 = 10x^2 - 90

Шаг 5: Переносим все в одну сторону

Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

6x^2 + 54 - 10x^2 + 90 = 0

Упрощаем:

-4x^2 + 144 = 0

Шаг 6: Решаем квадратное уравнение

Теперь решаем это квадратное уравнение:

-4x^2 = -144

Последние заданные вопросы в категории Математика