Дробно-рациональное уравнение: (x - 4)/x = (2x + 10)/(x + 4). /- дробная черта

Для того чтобы решить уравнение $\frac{x - 4}{x} = \frac{2x + 10}{x + 4}$, давайте поэтапно разберемся с ним.

1. Умножим обе части уравнения на (x)(x + 4) (наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей), чтобы избавиться от дробей. Это действие не нарушит равенства, так как мы умножаем на выражение, которое не может быть равно нулю (поскольку $x \neq 0$ и $x \neq -4$).

   Умножим:

   $$(x)(x + 4) \cdot \frac{x - 4}{x} = (x)(x + 4) \cdot \frac{2x + 10}{x + 4}$$

   Теперь у нас получается:

   $$(x + 4)(x - 4) = x(2x + 10)$$

2. Упростим обе стороны уравнения.

   Слева у нас разность квадратов:

   $$(x + 4)(x - 4) = x^2 - 16$$

   Справа раскрываем скобки:

   $$x(2x + 10) = 2x^2 + 10x$$

   Получаем уравнение:

   $$x^2 - 16 = 2x^2 + 10x$$

3. Переносим все члены на одну сторону уравнения (вычитаем $x^2$, $10x$ и $16$ с обеих сторон):

   $$x^2 - 16 - 2x^2 - 10x = 0$$

   Упрощаем:

   $$-x^2 - 10x - 16 = 0$$

   Умножим на -1 для упрощения:

   $$x^2 + 10x + 16 = 0$$

4. Решаем полученное квадратное уравнение. Мы можем решить его через дискриминант или с помощью формулы для решения квадратных уравнений.

   Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант $D$ находится по формуле:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   В нашем случае $a = 1$, $b = 10$, $c = 16$. Подставляем в формулу:

   $$D = 10^2 - 4(1)(16) = 100 - 64 = 36$$

   Дискриминант положительный, значит, у уравнения есть два различных корня. Теперь находим корни по формуле:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставляем значения $a$, $b$ и $D$:

   $$x = \frac{-10 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 6}{2}$$

   Получаем два корня:

   $$x = \frac{-10 + 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

   и

   $$x = \frac{-10 - 6}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$

5. Проверка корней. Мы должны убедиться, что найденные значения $x$ не приводят к делению на ноль в исходном уравнении.

   В исходном уравнении знаменатели были $x$ и $x + 4$. Проверим, что для $x = -2$ и $x = -8$ знаменатели не становятся равными нулю:

   • Для $x = -2$ знаменатели $x = -2$ и $x + 4 = 2$ не равны нулю.

   • Для $x = -8$ знаменатели $x = -8$ и $x + 4 = -4$ тоже не равны нулю.

   Значит, оба корня допустимы.

Ответ: Решения уравнения — $x = -2$ и $x = -8$.