решите рациональное уравнение \(\frac{10}{x-4} + \frac{4}{x-10} = 2\)

Для решения рационального уравнения $\frac{10}{x-4} + \frac{4}{x-10} = 2$, давайте выполнем шаги по порядку:

1. Приведение уравнения к общему знаменателю:
   У нас есть два дробных выражения $\frac{10}{x-4}$ и $\frac{4}{x-10}$. Чтобы привести их к общему знаменателю, найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ). Это будет произведение $(x-4)(x-10)$, так как оба знаменателя различны.

   Перепишем уравнение с этим общим знаменателем:

   $$\frac{10}{x-4} + \frac{4}{x-10} = \frac{10(x-10)}{(x-4)(x-10)} + \frac{4(x-4)}{(x-4)(x-10)} = 2$$

2. Упрощение числителей:
   Теперь у нас есть одна дробь с общим знаменателем:

   $$\frac{10(x-10) + 4(x-4)}{(x-4)(x-10)} = 2$$

   Упростим числители:

   $$10(x-10) = 10x - 100$$ $$4(x-4) = 4x - 16$$

   Подставим их в выражение:

   $$\frac{10x - 100 + 4x - 16}{(x-4)(x-10)} = 2$$

   Упростим числитель:

   $$\frac{14x - 116}{(x-4)(x-10)} = 2$$

3. Умножение обеих частей уравнения на знаменатель:
   Умножим обе части уравнения на $(x-4)(x-10)$, чтобы избавиться от дробей:

   $$14x - 116 = 2(x-4)(x-10)$$

   Раскроем скобки с правой стороны:

   $$2(x-4)(x-10) = 2(x^2 - 14x + 40) = 2x^2 - 28x + 80$$

   Таким образом, уравнение становится:

   $$14x - 116 = 2x^2 - 28x + 80$$

4. Перенос всех членов на одну сторону:
   Переносим все элементы на одну сторону, чтобы привести уравнение к стандартному виду:

   $$0 = 2x^2 - 28x + 80 - 14x + 116$$

   Упростим:

   $$0 = 2x^2 - 42x + 196$$

   Разделим обе стороны на 2:

   $$0 = x^2 - 21x + 98$$

5. Решение квадратного уравнения:
   Теперь у нас квадратное уравнение:

   $$x^2 - 21x + 98 = 0$$

   Решим его с помощью формулы для решения квадратного уравнения:

   $$x = \frac{-(-21) \pm \sqrt{(-21)^2 - 4(1)(98)}}{2(1)}$$ $$x = \frac{21 \pm \sqrt{441 - 392}}{2}$$ $$x = \frac{21 \pm \sqrt{49}}{2}$$ $$x = \frac{21 \pm 7}{2}$$

   Таким образом, получаем два корня:

   $$x = \frac{21 + 7}{2} = \frac{28}{2} = 14$$ $$x = \frac{21 - 7}{2} = \frac{14}{2} = 7$$