Как найти площадь равнобедренной трапеции, если неизвестна высота, но известно боковое ребро 13 см, а основания 5 см и 15 см?

Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, когда известны боковое ребро и основания, но высота неизвестна, можно использовать следующее решение.

1. Обозначим:

   • $a = 5$ см — короткое основание,

   • $b = 15$ см — длинное основание,

   • $c = 13$ см — боковое ребро.

2. Применим теорему Пифагора для нахождения высоты трапеции:
   В равнобедренной трапеции боковые стороны одинаковы, и перпендикуляры, опущенные из концов короткого основания на длинное, будут равны по длине и расположены симметрично. Таким образом, расстояние между основаниями можно разделить на два равных сегмента.

   Пусть $h$ — высота трапеции. Разделим длинное основание на два сегмента, каждый длиной $x$, которые будут расположены между концами короткого основания и прямыми, опущенными из его вершин.

   Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, который образуется боковой стороной, высотой и частью основания:

   $$c^2 = h^2 + x^2$$

   где:

   • $c = 13$ см (боковая сторона),

   • $h$ — высота трапеции,

   • $x$ — длина части основания, на которую опускается высота.

   Теперь найдем $x$. Площадь всей базы основания между коротким и длинным основаниями будет равна разности длин оснований, то есть:

   $$x = \frac{b - a}{2} = \frac{15 - 5}{2} = 5 \text{ см}.$$

   Подставляем $x = 5$ в теорему Пифагора:

   $$13^2 = h^2 + 5^2$$ $$169 = h^2 + 25$$ $$h^2 = 169 - 25 = 144$$ $$h = \sqrt{144} = 12 \text{ см}.$$

3. Теперь, когда мы знаем высоту, можем найти площадь трапеции.

   Площадь трапеции вычисляется по формуле:

   $$S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$$

   Подставляем известные значения:

   $$S = \frac{(5 + 15) \cdot 12}{2} = \frac{20 \cdot 12}{2} = 120 \text{ см}^2.$$

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции составляет 120 см².