В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 3 см , а боковое ребро 5 см. Найти площадь боковой поверхности.

Для нахождения площади боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды нужно сначала понять, что такое боковая поверхность. Она состоит из четырёх треугольных боковых граней, каждая из которых является равнобедренным треугольником.

1. Найдем высоту бокового треугольника:

   В правильной четырёхугольной пирамиде высота, как и боковое ребро, задаются. Из условия задачи известно, что высота пирамиды (это перпендикуляр от вершины пирамиды до основания) равна 3 см, а боковое ребро (то есть ребро бокового треугольника) равно 5 см.

   Каждый боковой треугольник является равнобедренным, у которого одна из сторон — это боковое ребро пирамиды (5 см), а высота треугольника будет перпендикулярной к основанию бокового треугольника.

   Чтобы найти высоту бокового треугольника, можно применить теорему Пифагора. Из центра основания пирамиды проведем перпендикуляр к ребру основания (он будет средней линией основания треугольника). Получается прямоугольный треугольник, где гипотенуза — это боковое ребро (5 см), а один из катетов — это высота пирамиды (3 см). Мы можем найти второй катет, который будет равен половине длины основания бокового треугольника.

   Обозначим половину основания бокового треугольника через $x$. Тогда по теореме Пифагора:

   $$x^2 + 3^2 = 5^2$$ $$x^2 + 9 = 25$$ $$x^2 = 16$$ $$x = 4 \, \text{см}$$

   Это означает, что половина основания бокового треугольника равна 4 см.

2. Теперь можем найти площадь боковой поверхности:

   Площадь одного бокового треугольника вычисляется по формуле для площади треугольника:

   $$S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$$

   Основание треугольника — это длина стороны основания пирамиды, которая равна 8 см (поскольку половина основания 4 см, а таких половинок 2). Высота бокового треугольника — это найденное значение $3 \, \text{см}$.

   Площадь одного бокового треугольника:

   $$S = \frac{1}{2} \times 8 \times 3 = 12 \, \text{см}^2$$

3. Площадь всей боковой поверхности:

   Площадь боковой поверхности пирамиды — это сумма площадей всех четырёх боковых треугольников. Так как все боковые треугольники одинаковы, то площадь боковой поверхности будет:

   $$S_{\text{боковой}} = 4 \times 12 = 48 \, \text{см}^2$$

Ответ: площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна 48 см².