В группе 16 учащихся. Среди них два друга — Олег и Сергей. Группу случайным образом разбивают на 4 равные подгруппы. Найти вероятность того, что Олег и Сергей окажутся в одной подгруппе.

Для решения задачи необходимо найти вероятность того, что два друга — Олег и Сергей — окажутся в одной подгруппе при случайном разбиении группы из 16 человек на 4 равные подгруппы.

Шаг 1: Определим общее количество способов разбиения группы на подгруппы.

Общее количество способов разделить 16 человек на 4 подгруппы по 4 человека в каждой можно посчитать с использованием формулы для числа разбиений с повторениями. Это количество равно:

Где:

• $16!$ — количество способов распределить 16 человек без ограничений,

• $(4!)^4$ — учитываем повторяющиеся перестановки внутри каждой из 4 подгрупп,

• Еще один $4!$ — учитываем, что подгруппы неупорядочены (неважно, какая подгруппа будет первой, второй и т. д.).

Шаг 2: Рассчитаем количество благоприятных случаев (когда Олег и Сергей в одной подгруппе).

Если Олег и Сергей находятся в одной подгруппе, то нужно разместить их в одну из подгрупп, а оставшихся 14 человек случайным образом разделить на 3 оставшиеся подгруппы по 4 человека. Мы можем выбрать 2 места для Олега и Сергея внутри одной подгруппы, а затем распределить оставшихся 14 человек в 3 подгруппы.

Число способов, как можно это сделать, равно:

Шаг 3: Находим вероятность.

Теперь вероятность того, что Олег и Сергей окажутся в одной подгруппе, равна отношению числа благоприятных случаев к общему количеству способов разбиения:

В данном случае, можно заметить, что задача сводится к вычислению числа благоприятных вариантов с учётом ограничений, и вероятности того, что два конкретных человека окажутся в одной подгруппе.