Найдите значение выражения √12cos^2(5п/12)-√3

Для того чтобы найти значение выражения $\sqrt{12}\cos^2\left(\frac{5\pi}{12}\right) - \sqrt{3}$, нужно пройти через несколько шагов.

1. Упростим $\sqrt{12}$:

   $$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$$

   Таким образом, выражение становится:

   $$2\sqrt{3} \cos^2\left(\frac{5\pi}{12}\right) - \sqrt{3}$$

2. Найдем значение $\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)$:

   Для этого удобно использовать тригонометрические формулы. Мы знаем, что $\frac{5\pi}{12} = 75^\circ$, и значение косинуса угла 75° можно выразить через известные углы. Для этого используется формула суммы углов:

   $$\cos(75^\circ) = \cos(45^\circ + 30^\circ)$$

   По формуле для косинуса суммы:

   $$\cos(A + B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B)$$

   Подставим значения для углов 45° и 30°:

   $$\cos(75^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) - \sin(45^\circ)\sin(30^\circ)$$

   Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что:

   $$\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$$

   Подставляем в выражение:

   $$\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$$

   Упростим:

   $$\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$

3. Теперь найдем $\cos^2\left(\frac{5\pi}{12}\right)$