Решите уравнение: НОД (5, х) + х = 2015.

Рассмотрим задачу: нужно найти все такие $x$, для которых выполняется уравнение:

Шаг 1: Понимание НОД

НОД (наибольший общий делитель) двух чисел — это наибольшее число, на которое оба числа делятся без остатка. В нашем случае один из аргументов — это 5, поэтому НОД(5, $x$) будет равен либо 1, либо 5, в зависимости от того, делится ли $x$ на 5.

• Если $x$ делится на 5, то НОД(5, $x$) = 5.
• Если $x$ не делится на 5, то НОД(5, $x$) = 1.

Шаг 2: Разделение задачи на два случая

Давайте рассмотрим оба возможных случая для значения НОД.

Случай 1: НОД(5, $x$) = 5

Это возможно только тогда, когда $x$ делится на 5, то есть $x = 5k$, где $k$ — целое число.

Подставим это в уравнение:

Упрощаем уравнение:

Разделим обе части на 5:

Таким образом, $k = 402$, и $x = 5 \cdot 402 = 2010$.

Случай 2: НОД(5, $x$) = 1

Это возможно только тогда, когда $x$ не делится на 5. Подставим значение НОД в уравнение:

Тогда:

Шаг 3: Проверка решений

Теперь у нас есть два возможных значения для $x$: 2010 и 2014. Проверим оба:

1. Если $x = 2010$:

   • НОД(5, 2010) = 5 (так как 2010 делится на 5).
   • $5 + 2010 = 2015$.
   • Это решение верно.

2. Если $x = 2014$:

   • НОД(5, 2014) = 1 (так как 2014 не делится на 5).
   • $1 + 2014 = 2015$.
   • Это решение также верно.

Ответ:

Уравнение имеет два решения: $x = 2010$ и $x = 2014$.