Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 16 см. Найдите периметр треугольника, подобного данному, если его площадь равны 24см в квадрате.

Давайте разберем задачу пошагово и найдем периметр треугольника, подобного данному, при условии, что его площадь равна 24 квадратных сантиметра.

Шаг 1: Найдём гипотенузу исходного треугольника

Для прямоугольного треугольника с катетами 12 см и 16 см гипотенузу $c$ можно найти по теореме Пифагора:

Таким образом, стороны исходного треугольника равны 12 см, 16 см и 20 см.

Шаг 2: Найдём площадь исходного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле:

где $a$ и $b$ — это катеты. В нашем случае:

Шаг 3: Определим коэффициент подобия

Площадь подобного треугольника равна 24 см², а площадь исходного треугольника — 96 см². Коэффициент подобия $k$ для подобных треугольников связан с отношением их площадей:

где $S_2$ — площадь подобного треугольника (24 см²), а $S_1$ — площадь исходного треугольника (96 см²):

Отсюда находим $k$:

Шаг 4: Найдём стороны подобного треугольника

Так как коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$, стороны подобного треугольника будут в два раза меньше сторон исходного треугольника. Тогда длины сторон подобного треугольника составят:

• Первый катет: $12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.
• Второй катет: $16 \cdot \frac{1}{2} = 8$ см.
• Гипотенуза: $20 \cdot \frac{1}{2} = 10$ см.

Шаг 5: Найдём периметр подобного треугольника

Периметр треугольника — это сумма длин его сторон. Для подобного треугольника:

Ответ

Периметр треугольника, подобного данному, если его площадь равна 24 см², составляет 24 см.