Найдите критические точки функции \( f(x) = x^2 \cdot e^x \).

Для нахождения критических точек функции $f(x) = x^2 \cdot e^x$ нужно выполнить несколько шагов:

1. Найдем производную функции.

Функция $f(x)$ является произведением двух функций: $x^2$ и $e^x$. Для нахождения производной используем правило произведения:

Производная от $x^2$ равна $2x$, а производная от $e^x$ равна $e^x$. Подставим эти выражения:

Можно вынести общий множитель $e^x$:

2. Найдем критические точки.

Критическими точками функции являются такие значения $x$, при которых производная $f'(x) = 0$, или производная не существует. Рассмотрим $f'(x) = 0$:

Так как экспоненциальная функция $e^x$ никогда не равна нулю для всех значений $x$, то уравнение сводится к:

Решим это квадратное уравнение:

Таким образом, $x = 0$ или $x = -2$.

3. Проверим, что эти точки — критические.

Мы нашли, что критические точки функции — это $x = 0$ и $x = -2$. Эти значения являются критическими точками, так как в них производная функции равна нулю.