Найдите критические точки функции: f (x) = x^4-2x^2-3 f(x)=x^2 + 3x / x+4

Для нахождения критических точек функции $f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x + 4}$, необходимо найти её производную и затем приравнять её к нулю.

Шаг 1. Найдём производную функции.

Используем правило дифференцирования частного:
Если функция представлена в виде $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$, то её производная вычисляется по формуле:

Здесь:

• $u(x) = x^2 + 3x$

• $v(x) = x + 4$

Вычислим производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

Теперь подставим эти значения в формулу для производной:

Раскроем скобки в числителе:

Выполним умножение:

Упростим числитель:

Шаг 2. Найдём критические точки.

Критические точки функции определяются как значения $x$, при которых производная равна нулю или не существует.

Чтобы найти точки, где производная равна нулю, приравняем числитель производной к нулю:

Решим это квадратное уравнение:

Получаем два корня:

Шаг 3. Проверим, где производная не существует.

Производная не существует, когда знаменатель равен нулю. В данном случае знаменатель — это $(x + 4)^2$, и он равен нулю, когда $x = -4$.

Шаг 4. Результат.

Таким образом, критические точки функции $f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x + 4}$ — это $x = -2$ и $x = -6$, а также точка $x = -4$, где производная не существует.