Найти критические точки и наименьшее значение функции \( y = -\frac{x}{x^2 + 81} \).

Для того чтобы найти критические точки и наименьшее значение функции $y = -\frac{x}{x^2 + 81}$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем первую производную функции.

Функция дана как $y = -\frac{x}{x^2 + 81}$. Для нахождения производной применим правило дифференцирования дроби (правило Лейбница).

Пусть $u(x) = -x$ и $v(x) = x^2 + 81$.

Тогда производная функции $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ по формуле Лейбница будет:

Вычислим $u'(x)$ и $v'(x)$:

• $u(x) = -x$ $\Rightarrow u'(x) = -1$,

• $v(x) = x^2 + 81$ $\Rightarrow v'(x) = 2x$.

Теперь подставим все в формулу для производной:

2. Найдем критические точки.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует.

Для нахождения точек, где производная равна нулю, приравняем $y'$ к нулю:

Чтобы дробь равнялась нулю, числитель должен быть равен нулю. То есть:

Решим это уравнение:

Таким образом, критические точки — это $x = 9$ и $x = -9$.

3. Определим наименьшее значение функции.

Чтобы найти наименьшее значение функции, нужно рассмотреть значения функции в критических точках и на границах области определения функции (если она есть).

Функция $y = -\frac{x}{x^2 + 81}$ определена для всех $x$, так как знаменатель $x^2 + 81$ никогда не равен нулю.

Посчитаем значения функции в точках $x = 9$ и $x = -9$:

• Для $x = 9$:

  $$y(9) = -\frac{9}{9^2 + 81} = -\frac{9}{81 + 81} = -\frac{9}{162} = -\frac{1}{18}$$

• Для $x = -9$:

  $$y(-9) = -\frac{-9}{(-9)^2 + 81} = -\frac{-9}{81 + 81} = \frac{9}{162} = \frac{1}{18}$$