Найти критические точки y=x^3-|х-1|

Чтобы найти критические точки функции
$y = x^3 - |x - 1|,$
выполним подробный анализ, включая разбор производной и возможные точки негладкости.

Шаг 1: Разберём модуль

Функция включает модуль $|x - 1|$, который определяется по частям:

Таким образом, функция $y = x^3 - |x - 1|$ также разбивается на два случая:

Шаг 2: Найдём производную по частям

1. Для $x < 1$:

Эта производная всегда положительна при любом $x$, так как $3x^2 \geq 0$, а $+1$ делает её строго положительной.

2. Для $x > 1$:

Эта производная может быть равна нулю. Найдём нули:

Но из этих двух значений только $x = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$ находится меньше 1, а значит оно не попадает в область $x > 1$.

Поэтому при $x > 1$ производная:

• положительна при $x > \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$

• и может быть отрицательной при $1 < x < \frac{1}{\sqrt{3}}$, но такого интервала не существует, так как $\frac{1}{\sqrt{3}} < 1$

Следовательно, на $x > 1$ производная положительна при всех x > 1, поскольку $3x^2 - 1 > 0$

Шаг 3: Рассмотрим точку разрыва производной — $x = 1$

Функция $y$ непрерывна в точке $x = 1$, но модуль делает производную потенциально негладкой там.

Найдём односторонние производные в этой точке:

• Слева:
  $y = x^3 + x - 1 \Rightarrow y' = 3x^2 + 1$
  При $x \to 1^-$: $y' = 3(1)^2 + 1 = 4$

• Справа:
  $y = x^3 - x + 1 \Rightarrow y' = 3x^2 - 1$<