В треугольнике ABC угол B равен 120 градусов, медиана BM делит угол B пополам и равна 21. Найдите AB.

В данном случае задача сводится к использованию свойств медианы и теоремы о медианах треугольников. Давайте разберем шаг за шагом, как решить эту задачу.

1. Условие задачи: У нас есть треугольник ABC, в котором угол B равен 120°. Медиана BM делит угол B пополам, и длина медианы BM равна 21.

2. Свойства медианы: Медиана BM делит угол B пополам, это означает, что угол B разбивается на два угла по 60° (половина от 120°). Таким образом, угол MBC = 60°.

3. Использование теоремы о медиане в треугольнике: Теорема о медиане в треугольнике утверждает, что если медиана BM делит угол B пополам и длина медианы BM известна, то можно использовать формулу для вычисления длины стороны треугольника. Эта формула для треугольника с углом 120° выглядит следующим образом:

   $$AB = \frac{2 \cdot BM}{\sin(60^\circ)}$$

4. Решение: Подставим данные из условия задачи. Известно, что медиана BM = 21, а $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

   Тогда:

   $$AB = \frac{2 \cdot 21}{\sin(60^\circ)} = \frac{2 \cdot 21}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{42}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 42 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{84}{\sqrt{3}}$$

5. Упростим выражение: Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

   $$AB = \frac{84}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{84\sqrt{3}}{3} = 28\sqrt{3}$$

6. Ответ: Длина стороны AB равна $28\sqrt{3}$. Это и есть ответ задачи.