Найдите корни уравнения sin(2x - π/2) = -1/2, принадлежащие полуинтервалу (0; 3π/2].

Чтобы найти корни уравнения $\sin(2x - \frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{2}$ на полуинтервале $(0; 3\pi/2]$, сначала нужно преобразовать его и решить.

1. Начнем с того, что у нас есть выражение в синусе:

   $$\sin\left( 2x - \frac{\pi}{2} \right) = -\frac{1}{2}$$

2. Вспомним, что $\sin\left( \theta - \frac{\pi}{2} \right)$ эквивалентен $-\cos(\theta)$. То есть:

   $$\sin\left( 2x - \frac{\pi}{2} \right) = -\cos(2x)$$

   Следовательно, уравнение примет вид:

   $$-\cos(2x) = -\frac{1}{2}$$

3. Упростим уравнение:

   $$\cos(2x) = \frac{1}{2}$$

4. Решим уравнение $\cos(2x) = \frac{1}{2}$. Зная, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, мы можем записать общие решения для угла $2x$:

   $$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

   Это означает, что:

   $$2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$$

5. Теперь разделим на 2, чтобы найти $x$:

   $$x = \frac{\pi}{6} + k\pi \quad \text{или} \quad x = -\frac{\pi}{6} + k\pi$$

6. Теперь нужно найти все значения $x$, которые принадлежат полуинтервалу $(0; 3\pi/2]$.

   Рассмотрим два случая:

   • Для $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$:

     $$k = 0: x = \frac{\pi}{6}$$ $$k = 1: x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$$ $$k = 2: x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \quad (\text{это больше, чем } 3\pi/2)$$

     Таким образом, допустимые значения $x$ — $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{7\pi}{6}$.

   • Для $x = -\frac{\pi}{6} + k\pi$:

     $$k = 1: x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$$ $$k = 2: x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \quad (\text{это больше, чем } 3\pi/2)$$

     Таким образом, допустимое значение $x$ — $\frac{5\pi}{6}$.

7. Итак, корни уравнения на полуинтервале $(0; 3\pi/2]$ — это:

   $$x=\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6}$$