1 + log₂ (9x² + 5) = log√₂ √(8x⁴ + 14). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Ответы на вопрос

Отвечает Волошина Виталина.

Для решения уравнения $1 + \log_2 (9x^2 + 5) = \log_{\sqrt{2}} \sqrt{8x^4 + 14}$ , давайте последовательно преобразуем его.

Шаг 1. Преобразуем правую часть уравнения

Мы видим, что основание логарифма справа — это $\sqrt{2}$ , что можно записать как $2^{1/2}$ . Используя свойство логарифмов, преобразуем правую часть:

\log_{\sqrt{2}} ( \sqrt{8x^4 + 14} ) = \frac{\log_2 \left( \sqrt{8x^4 + 14} \right)}{\log_2 \left( \sqrt{2} \right)} = \frac{\log_2 \left( \sqrt{8x^4 + 14} \right)}{1/2}

Умножив на 2, получаем:

\log_2 \left( \sqrt{8x^4 + 14} \right) \cdot 2 = \log_2 \left( 8x^4 + 14 \right)

Теперь у нас есть уравнение:

1 + \log_2 (9x^2 + 5) = \log_2 (8x^4 + 14)

Шаг 2. Избавимся от логарифмов

Переносим 1 на правую сторону:

\log_2 (9x^2 + 5) = \log_2 (8x^4 + 14) - 1

Преобразуем 1 как $\log_2 2$ , чтобы привести выражение к логарифмам с одинаковым основанием:

\log_2 (9x^2 + 5) = \log_2 \left( \frac{8x^4 + 14}{2} \right)

Поскольку логарифмы с одинаковым основанием равны, когда их аргументы равны, получаем:

9x^2 + 5 = \frac{8x^4 + 14}{2}

Шаг 3. Упростим уравнение

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

2(9x^2 + 5) = 8x^4 + 14

Распишем и упростим:

18x^2 + 10 = 8x^4 + 14

Переносим все на одну сторону:

8x^4 - 18x^2 + 4 = 0

Шаг 4. Преобразуем в квадратное уравнение

Введем замену: $y = x^2$ , тогда $y^2 = x^4$ . Подставляем в уравнение:

8y^2 - 18y + 4 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант:

\Delta = (-18)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 4 = 324 - 128 = 196

Корни уравнения:

y = \frac{-(-18) \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 8} = \frac{18 \pm 14}{16}

Последние заданные вопросы в категории Математика

1 + log₂ (9x² + 5) = log√₂ √(8x⁴ + 14). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку (−1; 8/9).