cos2x=sin(x+π/2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-2π;-π].

Для решения уравнения $\cos(2x) = \sin(x + \frac{\pi}{2})$ на промежутке $[-2\pi; -\pi]$, сначала упростим правую часть.

Мы знаем, что $\sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos(x)$ по тригонометрической тождественности. Следовательно, уравнение принимает вид:

Теперь рассмотрим основные свойства косинуса. Уравнение $\cos(2x) = \cos(x)$ может быть решено с использованием тождества для косинуса:

Применим это к нашему уравнению. Мы получаем два случая:

1. $2x = x + 2n\pi$

2. $2x = -x + 2n\pi$

Рассмотрим первый случай:

Теперь подставим различные значения $n$, чтобы найти решения в пределах промежутка $[-2\pi, -\pi]$:

• Для $n = -1$ получаем $x = -2\pi$

• Для $n = 0$ получаем $x = 0$, но это значение не лежит в промежутке $[-2\pi, -\pi]$.

Таким образом, из первого случая решение: $x = -2\pi$.

Рассмотрим второй случай:

Теперь подставим различные значения $n$ для нахождения решений в пределах промежутка $[-2\pi, -\pi]$:

• Для $n = -2$ получаем $x = \frac{2(-2)\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3}$

• Для $n = -1$ получаем $x = \frac{2(-1)\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}$, но это значение не лежит в промежутке $[-2\pi, -\pi]$.

• Для $n = 0$ получаем $x = 0$, что также не лежит в промежутке $[-2\pi, -\pi]$.

Таким образом, из второго случая решение: $x = -\frac{4\pi}{3}$.

Итог:

Корни уравнения $\cos(2x) = \sin(x + \frac{\pi}{2})$, принадлежащие промежутку $[-2\pi; -\pi]$, это: