Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее трех раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,4.

Для решения этой задачи мы используем формулу биномиального распределения, так как нам нужно определить вероятность того, что событие $A$ произойдет определенное количество раз в серии независимых испытаний с одинаковой вероятностью успеха.

Условие задачи:

• Вероятность наступления события $A$ в каждом испытании: $p = 0.4$.
• Количество испытаний: $n = 5$.
• Нужно найти вероятность того, что событие $A$ произойдет не менее трех раз, то есть для $k \geq 3$.

Шаги решения:

1. Формула биномиального распределения:

   Формула для вычисления вероятности того, что событие $A$ произойдет ровно $k$ раз в $n$ независимых испытаниях, выглядит так:

   $$P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}$$

   где:

   • $C_n^k$ — биномиальный коэффициент, который вычисляется как $C_n^k = \frac{n!}{k!(n - k)!}$.
   • $p$ — вероятность наступления события $A$.
   • $1 - p$ — вероятность того, что событие $A$ не произойдет.
   • $n$ — общее количество испытаний.
   • $k$ — количество успешных исходов (наступление события $A$).

2. Найдем вероятность того, что событие $A$ произойдет не менее трех раз:

   Поскольку нас интересует вероятность того, что событие произойдет не менее трех раз, это означает, что нам нужно вычислить сумму вероятностей для $k = 3$, $k = 4$ и $k = 5$:

   $$P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)$$

3. Вычислим каждую из вероятностей:

   • Для $k = 3$:

     $$P(X = 3) = C_5^3 \cdot 0.4^3 \cdot 0.6^2 = \frac{5!}{3! \cdot 2!} \cdot 0.4^3 \cdot 0.6^2 = 10 \cdot 0.4^3 \cdot 0.6^2$$

   • Для $k = 4$:

     $$P(X = 4) = C_5^4 \cdot 0.4^4 \cdot 0.6^1 = \frac{5!}{4! \cdot 1!} \cdot 0.4^4 \cdot 0.6 = 5 \cdot 0.4^4 \cdot 0.6$$

   • Для $k = 5$:

     $$P(X = 5) = C_5^5 \cdot 0.4^5 \cdot 0.6^0 = \frac{5!}{5! \cdot 0!} \cdot 0.4^5 = 1 \cdot 0.4^5$$

4. Подставим значения и посчитаем:

   • $C_5^3 = 10$, $0.4^3 \approx 0.064$, $0.6^2 \approx 0.36$:

     $$P(X = 3) = 10 \cdot 0.064 \cdot 0.36 \approx 0.2304$$

   • $C_5^4 = 5$, $0.4^4 \approx 0.0256$, $0.6 \approx 0.6$:

     $$P(X = 4) = 5 \cdot 0.0256 \cdot 0.6 \approx 0.0768$$

   • $C_5^5 = 1$, $0.4^5 \approx 0.01024$:

     $$P(X = 5) = 1 \cdot 0.01024 \approx 0.01024$$

5. Сложим вероятности:

   $$P(X \geq 3) = 0.2304 + 0.076$$