Почему нельзя из корня вывесть отрицательное число?

Корень (чаще всего подразумевается квадратный корень) из отрицательного числа нельзя извлечь в рамках системы действительных чисел, потому что не существует такого действительного числа, квадрат которого давал бы отрицательное число.

Рассмотрим подробнее. Квадрат любого действительного числа — положительный или ноль:

• $2^2 = 4$

• $(-2)^2 = 4$

• $0^2 = 0$

То есть, при возведении в квадрат любое число становится неотрицательным. В результате уравнение вида:

не имеет решений среди действительных чисел, потому что ни одно действительное число в квадрате не даёт отрицательный результат.

Именно поэтому выражение $\sqrt{-4}$ или вообще $\sqrt{-a}$ (где $a > 0$) не определено в действительных числах. Такие выражения можно определить только в более широкой системе — комплексных чисел, где вводится специальная единица $i$, такая что:

Тогда, например:

Но до тех пор, пока мы остаёмся в рамках действительной математики, извлекать корень из отрицательного числа нельзя, потому что такое действие не имеет смысла в этой числовой системе.