решить уравнение: (4/9)^x = (3/2)^5

Чтобы решить уравнение $\left(\frac{4}{9}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^5$, давайте следовать пошагово:

1. Перепишем уравнение в более удобной форме:

   $$\left(\frac{4}{9}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^5$$

2. Приведём $\frac{4}{9}$ к степени дроби с основанием 2 и 3:
   Заметим, что $\frac{4}{9} = \frac{2^2}{3^2}$, то есть:

   $$\left(\frac{4}{9}\right)^x = \left(\frac{2^2}{3^2}\right)^x = \frac{2^{2x}}{3^{2x}}$$

   Таким образом, уравнение становится:

   $$\frac{2^{2x}}{3^{2x}} = \left(\frac{3}{2}\right)^5$$

3. Перепишем правую часть:
   $\left(\frac{3}{2}\right)^5 = \frac{3^5}{2^5}$, поэтому уравнение принимает вид:

   $$\frac{2^{2x}}{3^{2x}} = \frac{3^5}{2^5}$$

4. Умножим обе стороны на $3^{2x} \cdot 2^5$, чтобы избавиться от дробей:

   $$2^{2x} \cdot 2^5 = 3^5 \cdot 3^{2x}$$

   Это даёт:

   $$2^{2x+5} = 3^{2x+5}$$

5. Теперь логарифмируем обе стороны уравнения:
   Чтобы решить это уравнение, применим логарифм обеих сторон. Выберем логарифм по основанию 10 (или натуральный логарифм):

   $$\log(2^{2x+5}) = \log(3^{2x+5})$$

6. Используем свойства логарифмов (логарифм степени можно вынести перед логарифмом):

   $$(2x+5)\log(2) = (2x+5)\log(3)$$

7. Если $2x + 5 \neq 0$, можно разделить обе стороны на $(2x + 5)$:

   $$\log(2) = \log(3)$$

   Это уравнение неверно, так как $\log(2)$ и $\log(3)$ — это разные числа.

8. Значит, $2x + 5 = 0$:
   Решаем:

   $$2x + 5 = 0$$ $$2x = -5$$ $$x = -\frac{5}{2}$$

Ответ: $x = -\frac{5}{2}$.