Дана функция y = f(x), где f(x) = x³ + 1.

Функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^3 + 1$, представляет собой кубическую функцию. Эта функция определена для всех значений $x$ и имеет следующие основные характеристики:

1. График функции:
   График функции является кубической кривой, которая имеет форму, типичную для функции третьей степени. Она будет возрастать, поскольку при увеличении $x$ куб $x$ увеличивается, а добавление 1 сдвигает график вверх на единицу. График будет проходить через точку $(0, 1)$, так как при $x = 0$, $f(0) = 0^3 + 1 = 1$.

2. Поведение на бесконечности:

   • При $x \to \infty$, $f(x) \to \infty$, так как кубическая функция растет быстрее, чем линейная или квадратичная.

   • При $x \to -\infty$, $f(x) \to -\infty$, потому что $x^3$ будет стремиться к минус бесконечности.

3. Нули функции:
   Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение $f(x) = 0$:

   $$x^3 + 1 = 0$$

   Решаем это уравнение:

   $$x^3 = -1 \quad \Rightarrow \quad x = -1$$

   Таким образом, единственный корень функции — это $x = -1$.

4. Производная функции:
   Для нахождения производной функции $f(x)$ применяем стандартные правила дифференцирования:

   $$f'(x) = 3x^2$$

   Производная показывает, как функция изменяется в каждой точке. Для $x = 0$ производная равна 0, что указывает на наличие горизонтальной касательной к графику в этой точке.

5. Поведении функции:

   • Для $x > 0$, функция будет возрастать, и чем больше $x$, тем быстрее будет увеличиваться значение функции.

   • Для $x < 0$, функция убывает, и значение $f(x)$ будет становиться все более отрицательным.

Таким образом, функция $f(x) = x^3 + 1$ — это стандартная кубическая функция, которая имеет одну точку пересечения с осью абсцисс при $x = -1$, растет при $x > 0$ и убывает при $x < 0$.