Равносторонний треугольник со стороной A вращается вокруг высоты. Найти площадь поверхности тела вращения.

Для того чтобы найти площадь поверхности тела вращения, получающегося при вращении равностороннего треугольника вокруг его высоты, нужно выполнить несколько шагов.

1. Определим характеристики треугольника:
   Пусть сторона равностороннего треугольника равна $A$.

   Высота равностороннего треугольника $h$ рассчитывается по формуле:

   $$h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot A$$

   Это следует из того, что в равностороннем треугольнике высота делит его на два прямоугольных треугольника, и используя теорему Пифагора, мы получаем такую формулу.

2. Рассмотрим тело вращения:
   При вращении равностороннего треугольника вокруг его высоты получается фигура, которая является поверхностью вращения. Конкретно, это поверхность конуса, где радиус основания равен половине стороны треугольника, а высота конуса — это высота треугольника.

   Радиус основания конуса $R$ равен:

   $$R = \frac{A}{2}$$

3. Площадь поверхности конуса:
   Площадь поверхности конуса состоит из двух частей: площади основания и боковой поверхности.

   Площадь основания $S_{\text{осн}} = \pi R^2$, где $R = \frac{A}{2}$:

   $$S_{\text{осн}} = \pi \left( \frac{A}{2} \right)^2 = \frac{\pi A^2}{4}$$

   Боковая площадь поверхности конуса $S_{\text{бок}} = \pi R l$, где $l$ — образующая конуса, которая является гипотенузой прямоугольного треугольника, в котором одна катет — это высота $h = \frac{\sqrt{3}}{2} A$, а второй катет — это радиус основания $R = \frac{A}{2}$. Найдем образующую $l$ по теореме Пифагора:

   $$l = \sqrt{h^2 + R^2} = \sqrt{\left( \frac{\sqrt{3}}{2} A \right)^2 + \left( \frac{A}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} A^2 + \frac{1}{4} A^2} = \sqrt{\frac{4}{4} A^2} = A$$

   Таким образом, боковая поверхность:

   $$S_{\text{бок}} = \pi \cdot \frac{A}{2} \cdot A = \frac{\pi A^2}{2}$$

4. Итоговая площадь поверхности:
   Суммируем площадь основания и боковую поверхность:

   $$S = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = \frac{\pi A^2}{4} + \frac{\pi A^2}{2} = \frac{\pi A^2}{4} + \frac{2\pi A^2}{4} = \frac{3\pi A^2}{4}$$

Таким образом, площадь поверхности тела вращения, получающегося при вращении равностороннего треугольника вокруг его высоты, равна: