Прямая BD перпендикулярна к плоскости треугольника ABC. Известно, что BD = 9 см, AC = 10 см, BC = BA = 13 см. Найти площадь треугольника ACD.

Для нахождения площади треугольника ACD необходимо воспользоваться геометрическими свойствами и формулами.

1. Местоположение точки D:
   Прямая BD перпендикулярна плоскости треугольника ABC, значит, точка D находится прямо над точкой B, образуя перпендикуляр от B на плоскость треугольника ABC. Длина отрезка BD равна 9 см.

2. Треугольник ABC:
   Из условий задачи известно, что треугольник ABC — это равнобедренный треугольник, так как BA = BC = 13 см, а AC = 10 см. Рассмотрим этот треугольник на плоскости и найдем его площадь.

   Для нахождения площади треугольника ABC используем формулу Герона:

   Площадь треугольника $S_{ABC} = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$, где:

   • $p$ — полупериметр треугольника,

   • $a = 10$ см (сторона AC),

   • $b = 13$ см (сторона BA),

   • $c = 13$ см (сторона BC).

   Сначала находим полупериметр $p$:

   $$p = \frac{10 + 13 + 13}{2} = 18 \, \text{см}.$$

   Теперь подставим значения в формулу для площади:

   $$S_{ABC} = \sqrt{18(18 - 10)(18 - 13)(18 - 13)} = \sqrt{18 \times 8 \times 5 \times 5} = \sqrt{18 \times 200} = \sqrt{3600} = 60 \, \text{см}^2.$$

3. Площадь треугольника ACD:
   Треугольник ACD является треугольником, образованным с теми же сторонами AC и CD, но с дополнительным перпендикуляром из точки D. Площадь треугольника ACD можно найти как половину произведения основания AC на высоту BD, которая перпендикулярна к AC.

   Площадь треугольника ACD:

   $$S_{ACD} = \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 10 \times 9 = 45 \, \text{см}^2.$$

Таким образом, площадь треугольника ACD равна 45 см².