На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=3, DC=7. Площадь треугольника ABC равна 20. Найдите площадь треугольника BCD

Чтобы найти площадь треугольника $BCD$, можно воспользоваться отношением площадей треугольников, которые имеют общую высоту.

Шаг 1: Рассмотрим треугольники $ABD$ и $BCD$

Пусть высота $h$ опущена из вершины $B$ на сторону $AC$ треугольника $ABC$. Тогда площадь треугольника $ABC$ можно выразить через эту высоту как:

Так как нам известно, что площадь $S_{ABC} = 20$, можем записать:

Шаг 2: Найдём отношение площадей треугольников $ABD$ и $BCD$

Поскольку точки $A$, $D$, и $C$ лежат на одной прямой, площади треугольников $ABD$ и $BCD$ будут пропорциональны длинам отрезков $AD$ и $DC$, на которые точка $D$ делит сторону $AC$.

Итак, отношение площадей треугольников $ABD$ и $BCD$ будет равно отношению отрезков $AD$ и $DC$:

Шаг 3: Выразим площади треугольников $ABD$ и $BCD$

Пусть площадь треугольника $ABD$ равна $S_{ABD} = 3x$, а площадь треугольника $BCD$ равна $S_{BCD} = 7x$. Тогда общая площадь треугольника $ABC$ будет суммой площадей этих треугольников:

Шаг 4: Найдём значение $x$

Зная, что $S_{ABC} = 20$, можем подставить это значение:

Отсюда:

Шаг 5: Найдём площадь треугольника $BCD$

Теперь подставим значение $x$ в выражение для площади треугольника $BCD$:

Ответ

Площадь треугольника $BCD$ равна $14$.