Прямая АМ перпендикулярна к плоскости квадрата АВСД диагонали которого пересекаются в точке О. докажите что прямая ВД перпендикулярна к плоскости АМО

Давайте подробно разберём задачу.

Условие:

• Квадрат $ABCD$ расположен в некоторой плоскости.
• Диагонали квадрата пересекаются в точке $O$, которая является их серединой.
• Прямая $AM$ перпендикулярна плоскости квадрата $ABCD$.

Нужно доказать, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $AMO$.

Шаг 1. Сведения о плоскости $AMO$:

Плоскость $AMO$ определяется следующими объектами:

• Точка $A$, которая принадлежит квадрату.
• Точка $M$, находящаяся на прямой $AM$, которая перпендикулярна плоскости квадрата $ABCD$.
• Точка $O$, находящаяся на пересечении диагоналей квадрата $ABCD$.

Так как $AM \perp \text{плоскости } ABCD$, то любая прямая, лежащая в плоскости $ABCD$, будет перпендикулярна прямой $AM$. Следовательно, плоскость $AMO$ включает в себя направление прямой $AM$ и точку $O$, которая лежит в плоскости $ABCD$.

Шаг 2. Свойства диагонали $BD$ квадрата:

Диагональ $BD$:

• Лежит в плоскости квадрата $ABCD$.
• Проходит через точку $O$, которая является серединой квадрата (середина обеих диагоналей).

Шаг 3. Векторное доказательство перпендикулярности:

1. Направления в пространстве:

   • Пусть квадрат $ABCD$ лежит в плоскости $XY$, а прямая $AM$ направлена вдоль оси $Z$.
   • Тогда точка $A = (a, b, 0)$, точка $O = (0, 0, 0)$, точка $M$ лежит на прямой $AM$ и имеет координаты вида $(a, b, m)$, где $m$ — некоторое число.

2. Направляющие векторы:

   • Направляющий вектор прямой $AM$: $\vec{AM} = (0, 0, m)$.
   • Направляющий вектор диагонали $BD$: $\vec{BD} = (d, -d, 0)$, где $d$ — длина половины диагонали квадрата.
   • Направляющий вектор любой прямой в плоскости $AMO$ можно задать линейной комбинацией векторов $\vec{AM}$ и $\vec{AO} = (-a, -b, 0)$.

3. Проверка перпендикулярности:

   • Вектор $\vec{BD} = (d, -d, 0)$ перпендикулярен вектору $\vec{AM} = (0, 0, m)$, так как их скалярное произведение равно:

     $$\vec{BD} \cdot \vec{AM} = d \cdot 0 + (-d) \cdot 0 + 0 \cdot m = 0.$$

   • Для доказательства перпендикулярности диагонали $BD$ и всей плоскости $AMO$, проверим, что $\vec{BD}$ ортогонален любому вектору в этой плоскости. Для этого достаточно показать, что $\vec{BD}$ ортогонален $\vec{AO}$:

     $$\vec{BD} \cdot \vec{AO} = d \cdot (-a) + (-d) \cdot (-b) + 0 \cdot 0 = -ad + bd = 0,$$

     так как в квадрате длины сторон равны, и $a = b$, поэтому $ad = bd$.

4. Вывод: Так как диагональ $BD$ перпендикулярна как вектору $\vec{AM}$, так и вектору $\vec{AO}$, лежащим в плоскости $AMO$, то $BD \perp AMO$.

Итог:

Мы доказали, что диагональ $BD$ перпендикулярна плоскости $AMO$.