Исследуйте функцию у = f(x) на монотонность и экстремумы: а) f(x) = x³ – 6x².

Для исследования функции $f(x) = x^3 - 6x^2$ на монотонность и экстремумы необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем первую производную функции.

Первая производная функции $f'(x)$ показывает, как меняется функция $f(x)$ при изменении $x$. Для функции $f(x) = x^3 - 6x^2$:

2. Найдем критические точки.

Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю:

Вынесем общий множитель:

Отсюда получаем два значения:

Таким образом, критические точки — это $x = 0$ и $x = 4$.

3. Исследуем функцию на монотонность.

Для того чтобы понять, на каком интервале функция возрастает или убывает, нужно проанализировать знак первой производной.

Рассмотрим три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 4)$, $(4, +\infty)$.

• Для интервала $(-\infty, 0)$, возьмем точку, например $x = -1$:

  $$f'(-1) = 3(-1)^2 - 12(-1) = 3 + 12 = 15$$

  Это положительное значение, значит, функция возрастает на интервале $(-\infty, 0)$.

• Для интервала $(0, 4)$, возьмем точку, например $x = 2$:

  $$f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) = 12 - 24 = -12$$

  Это отрицательное значение, значит, функция убывает на интервале $(0, 4)$.

• Для интервала $(4, +\infty)$, возьмем точку, например $x = 5$:

  $$f'(5) = 3(5)^2 - 12(5) = 75 - 60 = 15$$

  Это положительное значение, значит, функция возрастает на интервале $(4, +\infty)$.

4. Исследуем экстремумы.

• В точке $x = 0$ функция меняет монотонность с возрастания на убывание, следовательно, это точка максимума.

• В точке $x = 4$ функция меняет монотонность с убывания на возрастание, следовательно, это точка минимума.

5. Найдем значения функции в экстремумах.

• В точке $x = 0$:

  $$f(0) = 0^3 - 6(0)^2 = 0$$

  Значение функции в точке максимума равно 0.

• В точке $x = 4$:

  $$f(4) = 4^3 - 6(4)^2 = 64 - 96 = -32$$

  Значение функции в точке минимума равно -32.

Ответ:

Функция $f(x) = x^3 - 6x^2$ имеет:

• Точку максимума в $x = 0$ с значением $f(0) = 0$.

• Точку минимума в $x = 4$ с значением $f(4) = -32$.

Функция возрастает на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(4, +\infty)$, убывает на интервале $(0, 4)$.