Исследуйте функцию f(x) = x/2 - x^4 на максимум и минимум.

Для того чтобы исследовать функцию $f(x) = \frac{x}{2} - x^4$ на максимум и минимум, необходимо пройти несколько шагов.

1. Находим производную функции.

Для начала найдем первую производную функции $f(x)$, так как она позволяет определить критические точки, где функция может иметь экстремумы (максимумы или минимумы).

Производная от $\frac{x}{2}$ равна $\frac{1}{2}$, а производная от $-x^4$ равна $-4x^3$.

Тогда:

2. Находим критические точки.

Для нахождения критических точек приравниваем первую производную к нулю:

Решим это уравнение:

Таким образом, $x = \frac{1}{2}$ является критической точкой.

3. Находим вторую производную.

Чтобы понять, является ли эта точка максимумом или минимумом, вычислим вторую производную функции.

Производная от $\frac{1}{2}$ равна 0, а производная от $-4x^3$ равна $-12x^2$.

Таким образом:

4. Проверяем характер критической точки.

Теперь подставим найденную критическую точку $x = \frac{1}{2}$ во вторую производную:

Так как $f''\left(\frac{1}{2}\right) = -3 < 0$, это указывает на то, что точка $x = \frac{1}{2}$ является точкой максимума.

5. Проверка на поведение функции при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$.

Чтобы понять, как ведет себя функция на больших значениях $x$, рассмотрим пределы функции при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$.

• Когда $x \to \infty$, $x^4$ доминирует, и функция стремится к $-\infty$.

• Когда $x \to -\infty$, $x^4$ также доминирует, и функция стремится к $-\infty$.

6. Заключение.

• Критическая точка $x = \frac{1}{2}$ является точкой максимума.

• На интервалах $(-\infty, \infty)$ функция стремится к $-\infty$, что указывает на отсутствие глобального минимума, но функция убывает вблизи больших значений $x$.