Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию: а) f(x) = (x-1)^2(x+2) б) f(x) = 4 корня из x - x

Задание а) $f(x) = (x-1)^2(x+2)$

Для исследования монотонности и экстремумов функции $f(x) = (x-1)^2(x+2)$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции:

   Применим правило произведения для нахождения производной функции:

   $$f'(x) = \frac{d}{dx}\left[(x-1)^2\right] \cdot (x+2) + (x-1)^2 \cdot \frac{d}{dx}(x+2)$$

   Первая часть:

   $$\frac{d}{dx}\left[(x-1)^2\right] = 2(x-1)$$

   Вторая часть:

   $$\frac{d}{dx}(x+2) = 1$$

   Тогда производная:

   $$f'(x) = 2(x-1)(x+2) + (x-1)^2$$

2. Упростим выражение:

   $$f'(x) = 2(x-1)(x+2) + (x-1)^2 = (x-1)[2(x+2) + (x-1)]$$

   Упростим дальше:

   $$f'(x) = (x-1)(2x + 4 + x - 1) = (x-1)(3x + 3)$$

   Итак, производная функции:

   $$f'(x) = (x-1)(3x+3)$$

3. Найдем критические точки:
   Критические точки получаются при $f'(x) = 0$:

   $$(x-1)(3x+3) = 0$$

   Решаем уравнение:

   • $x-1 = 0$ → $x = 1$

   • $3x+3 = 0$ → $x = -1$

   Таким образом, критические точки $x = 1$ и $x = -1$.

4. Исследуем знак производной на интервалах:
   Разобьем ось на интервалы: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, \infty)$.

   • Для интервала $(-\infty, -1)$, подставим значение $x = -2$:

     $$f'(-2) = (-2-1)(3(-2)+3) = (-3)(-3) = 9 > 0$$

     Значит, функция возрастает на $(-\infty, -1)$.

   • Для интервала $(-1, 1)$, подставим значение $x = 0$:

     $$f'(0) = (0-1)(3(0)+3) = (-1)(3) = -3 < 0$$

     Значит, функция убывает на $(-1, 1)$.

   • Для интервала $(1, \infty)$, подставим значение $x = 2$:

     $$f'(2) = (2-1)(3(2)+3) = (1)(9) = 9 > 0$$

     Значит, функция возрастает на $(1, \infty)$.

5. Исследуем экстремумы:

   • На точке $x = -1$, $f'(x)$ меняет знак с положительного на отрицательный, следовательно, в этой точке локальный максимум.