Исследуйте функцию y = (1/3)x³ - x² - 3x + 1/3.

Ответы на вопрос

Отвечает Исупова Даша.

Функция, которую нужно исследовать, имеет вид:

y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + \frac{1}{3}

1. Нахождение производной (первая производная)

Для анализа функции начнем с нахождения ее первой производной, чтобы понять, где функция возрастает или убывает, а также определить критические точки (максимумы, минимумы).

Производная функции $y(x)$ вычисляется по стандартным правилам дифференцирования:

y'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + \frac{1}{3} \right)

Используем правило для производной каждого из слагаемых:

Производная $\frac{1}{3}x^3$ равна $x^2$ ,
Производная $-x^2$ равна $-2x$ ,
Производная $-3x$ равна $-3$ ,
Производная $\frac{1}{3}$ равна 0.

Таким образом, первая производная:

y'(x) = x^2 - 2x - 3

2. Нахождение критических точек

Чтобы найти критические точки, приравняем первую производную к нулю:

x^2 - 2x - 3 = 0

Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16

Корни уравнения:

x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2}

Получаем два корня:

x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1

3. Анализ второй производной

Теперь найдем вторую производную функции, чтобы определить, является ли критическая точка максимумом или минимумом. Для этого берем производную от $y'(x) = x^2 - 2x - 3$ :

y''(x) = 2x - 2

Теперь подставим в неё критические точки $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$ :

Для $x = 3$ :
$y''(3) = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$
Положительное значение второй производной (4) говорит о том, что в точке $x = 3$ функция имеет минимум.
Для $x = -1$ :
$y''(-1) = 2(-1) - 2 = -2 - 2 = -4$
Отрицательное значение второй производной (-4) говорит о том, что в точке $x = -1$ функция имеет максимум.

4. Анализ поведения функции на бесконечности

Для того чтобы понять, как ведет себя функция на больших значениях $x$ , рассмотрим поведение функции при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$ .

Когда $x \to \infty$ , доминирует кубический член $\frac{1}{3}x^3$ , так что $y \to \infty$ .
Когда $x \to -\infty$ , также доминирует кубический член $\frac{1}{3}x^3$ , но с отрицательным знаком, поэтому $y \to -\infty$ .

5. Нахождение значений функции в критических точках

Теперь, когда мы нашли критические точки, вычислим значения функции в этих точках.

Для $x = 3$ :
$y(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 - 3(3) + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}(27) - 9 - 9 + \frac{1}{3} = 9 - 9 - 9 + \frac{1}{3} = -9 + \frac{1}{3} = -\frac{26}{3}$