Исследуйте функцию y = (1/3)x³ - x² - 3x + 1/3.

Функция, которую нужно исследовать, имеет вид:

1. Нахождение производной (первая производная)

Для анализа функции начнем с нахождения ее первой производной, чтобы понять, где функция возрастает или убывает, а также определить критические точки (максимумы, минимумы).

Производная функции $y(x)$ вычисляется по стандартным правилам дифференцирования:

Используем правило для производной каждого из слагаемых:

• Производная $\frac{1}{3}x^3$ равна $x^2$,

• Производная $-x^2$ равна $-2x$,

• Производная $-3x$ равна $-3$,

• Производная $\frac{1}{3}$ равна 0.

Таким образом, первая производная:

2. Нахождение критических точек

Чтобы найти критические точки, приравняем первую производную к нулю:

Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Корни уравнения:

Получаем два корня:

3. Анализ второй производной

Теперь найдем вторую производную функции, чтобы определить, является ли критическая точка максимумом или минимумом. Для этого берем производную от $y'(x) = x^2 - 2x - 3$:

Теперь подставим в неё критические точки $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$:

• Для $x = 3$:

  $$y''(3) = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$$

  Положительное значение второй производной (4) говорит о том, что в точке $x = 3$ функция имеет минимум.

• Для $x = -1$:

  $$y''(-1) = 2(-1) - 2 = -2 - 2 = -4$$

  Отрицательное значение второй производной (-4) говорит о том, что в точке $x = -1$ функция имеет максимум.

4. Анализ поведения функции на бесконечности

Для того чтобы понять, как ведет себя функция на больших значениях $x$, рассмотрим поведение функции при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$.

• Когда $x \to \infty$, доминирует кубический член $\frac{1}{3}x^3$, так что $y \to \infty$.

• Когда $x \to -\infty$, также доминирует кубический член $\frac{1}{3}x^3$, но с отрицательным знаком, поэтому $y \to -\infty$.

5. Нахождение значений функции в критических точках

Теперь, когда мы нашли критические точки, вычислим значения функции в этих точках.

• Для $x = 3$:

  $$y(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 - 3(3) + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}(27) - 9 - 9 + \frac{1}{3} = 9 - 9 - 9 + \frac{1}{3} = -9 + \frac{1}{3} = -\frac{26}{3}$$