Исследуйте функцию y = x/2 + 2/x

Функция $y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$ состоит из двух частей: линейного члена $\frac{x}{2}$ и дробно-рационального члена $\frac{2}{x}$.

1. Область определения функции

Функция будет определена на всех значениях $x$, за исключением $x = 0$, так как выражение $\frac{2}{x}$ становится неопределённым при $x = 0$. Таким образом, область определения функции:

2. Ассимптоты

Для анализа ассимптот функции исследуем поведение функции при $x \to \infty$ и $x \to 0$.

Горизонтальная ассимптота:

Посмотрим на поведение функции при $x \to \infty$ или $x \to -\infty$:

• Член $\frac{x}{2}$ растёт линейно, а член $\frac{2}{x}$ стремится к нулю.

• Следовательно, при $x \to \infty$ или $x \to -\infty$ функция $y$ будет стремиться к бесконечности или минус бесконечности в зависимости от знака $x$. Это означает, что горизонтальной ассимптоты у функции нет.

Вертикальная ассимптота:

При $x \to 0$ член $\frac{2}{x}$ будет стремиться к бесконечности или минус бесконечности в зависимости от того, с какой стороны мы подходим к нулю:

• Если $x \to 0^+$, то $\frac{2}{x} \to +\infty$.

• Если $x \to 0^-$, то $\frac{2}{x} \to -\infty$.
  Таким образом, у функции есть вертикальная ассимптота в точке $x = 0$.

3. Поведение функции при $x \to 0$

Когда $x$ стремится к нулю, выражение $\frac{2}{x}$ становится доминирующим, так как линейный член $\frac{x}{2}$ стремится к нулю. Поэтому функция будет вести себя как $y \sim \frac{2}{x}$, и её значение будет стремиться к бесконечности (или минус бесконечности в зависимости от знака $x$).

4. Нули функции

Для нахождения нулей функции решим уравнение $\frac{x}{2} + \frac{2}{x} = 0$.
Умножим обе части на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):

Это уравнение не имеет действительных решений, так как $x^2 + 4 \geq 4$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, у функции нет действительных нулей.

5. Проведение анализа производной

Для нахождения критических точек функции найдем её первую производную:

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

Таким образом, критические точки находятся в $x = 2$ и $x = -2$.

6. Анализ поведения функции в этих точках

Для того чтобы понять, является ли каждая из этих точек максимумом или минимумом, вычислим вторую производную: