Исследуйте функцию f(x) = -x² + 4x - 3 с помощью производной.

Для того чтобы исследовать функцию $f(x) = -x^2 + 4x - 3$ с помощью производной, необходимо выполнить несколько шагов:

1. Нахождение производной функции:
   Мы начнем с нахождения первой производной функции $f(x)$, чтобы изучить её поведение, такие как увеличение, уменьшение, экстремумы и точки перегиба.

   Функция $f(x) = -x^2 + 4x - 3$ — это квадратная функция, и её производная может быть найдена с помощью стандартных правил дифференцирования:

   $$f'(x) = \frac{d}{dx} (-x^2 + 4x - 3)$$

   Применяя правила дифференцирования для каждого члена:

   $$f'(x) = -2x + 4$$

   Это выражение описывает скорость изменения функции $f(x)$ на отрезке $x$.

2. Нахождение критических точек:
   Для нахождения критических точек нужно решить уравнение $f'(x) = 0$. То есть:

   $$-2x + 4 = 0$$

   Решив это уравнение:

   $$2x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2$$

   Таким образом, критическая точка функции находится в $x = 2$.

3. Исследование характера критической точки:
   Чтобы понять, является ли найденная точка максимумом или минимумом, нам нужно рассмотреть вторую производную функции. Рассчитаем её:

   $$f''(x) = \frac{d}{dx} (-2x + 4) = -2$$

   Вторая производная $f''(x) = -2$ всегда отрицательна, что означает, что функция выпукла вниз на всей своей области определения. Следовательно, точка $x = 2$ является точкой максимума.

4. Нахождение максимума:
   Чтобы найти значение функции в этой точке, подставим $x = 2$ в исходное выражение для $f(x)$:

   $$f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1$$

   Таким образом, максимальное значение функции равно 1, и оно достигается в точке $x = 2$.

5. Анализ поведения функции на бесконечности:
   Поскольку это квадратная функция с отрицательным коэффициентом при $x^2$, мы знаем, что она стремится к минус бесконечности при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$. Это означает, что функция имеет параболическую форму, открывающуюся вниз.

Резюме:

• Критическая точка: $x = 2$

• Функция достигает максимума в точке $x = 2$, значение максимума $f(2) = 1$.

• Функция $f(x)$ выпуклая вниз (вторая производная отрицательна).

• На бесконечности функция убывает: $\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.