Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график. f(x)=1/2(х+2)²(х-2)

Чтобы исследовать функцию $f(x) = \frac{1}{2}(x+2)^2(x-2)$ с помощью производной и построить ее график, рассмотрим процесс по шагам.

Шаг 1: Найдем производную функции $f(x)$

Начнем с того, что раскроем скобки и упростим выражение, если это возможно. Однако для поиска производной проще использовать правила дифференцирования.

1. Запишем функцию:

   $$f(x) = \frac{1}{2}(x+2)^2(x-2)$$

2. Производная функции $f(x)$. Для этого используем правило произведения:

   $$f(x) = g(x) \cdot h(x)$$

   где $g(x) = \frac{1}{2}(x+2)^2$ и $h(x) = (x-2)$.

   По правилу произведения:

   $$f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$$

3. Находим $g'(x)$:

   $$g(x) = \frac{1}{2}(x+2)^2$$

   Применим правило дифференцирования для степенной функции:

   $$g'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2(x+2) \cdot 1 = (x+2)$$

4. Находим $h'(x)$:

   $$h(x) = x - 2$$

   Тогда $h'(x) = 1$.

5. Подставляем производные:

   $$f'(x) = (x+2)(x-2) + \frac{1}{2}(x+2)^2 \cdot 1$$

   Упростим выражение:

   $$f'(x) = (x+2)(x-2) + \frac{1}{2}(x+2)^2$$

   Раскроем скобки и приведем подобные:

   $$f'(x) = x^2 - 4 + \frac{1}{2}(x^2 + 4x + 4)$$

   Приводим подобные:

   $$f'(x) = x^2 - 4 + \frac{1}{2}x^2 + 2x + 2 = \frac{3}{2}x^2 + 2x - 2$$

Шаг 2: Критические точки

Чтобы найти критические точки, решим уравнение $f'(x) = 0$:

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей:

Решаем квадратное уравнение:

Получаем два значения: