Какой остаток получится при делении: а) 3^168 на 10; б) 5^146 на 6?

Для того чтобы найти остаток при делении чисел на другие числа, можно использовать методы теории чисел, такие как вычисление остатков и использование свойств периодичности последовательностей. Рассмотрим каждый из случаев.

а) 3^168 на 10

Нам нужно найти остаток от деления числа $3^{168}$ на 10. Это можно сделать, используя периодичность остатков от деления степеней числа 3 на 10.

Для начала вычислим несколько первых степеней числа 3 по модулю 10:

• $3^1 = 3$ (остаток 3)

• $3^2 = 9$ (остаток 9)

• $3^3 = 27$ (остаток 7)

• $3^4 = 81$ (остаток 1)

Мы видим, что остатки повторяются с периодом 4: $3, 9, 7, 1$. Период длиной 4. Теперь нужно определить, к какой степени из этого периода относится $3^{168}$.

Для этого вычислим остаток от деления 168 на 4:

Это означает, что $3^{168}$ соответствует $3^4$, остаток от деления которого на 10 равен 1.

Ответ: остаток от деления $3^{168}$ на 10 равен 1.

б) 5^146 на 6

Теперь нужно найти остаток от деления $5^{146}$ на 6. Для этого также воспользуемся периодичностью остатков.

Вычитаем несколько степеней числа 5 по модулю 6:

• $5^1 = 5$ (остаток 5)

• $5^2 = 25$ (остаток 1)

• $5^3 = 125$ (остаток 5)

• $5^4 = 625$ (остаток 1)

Мы видим, что остатки повторяются с периодом 2: $5, 1$. Период длиной 2. Теперь вычислим остаток от деления 146 на 2:

Это означает, что $5^{146}$ соответствует $5^2$, остаток от деления которого на 6 равен 1.

Ответ: остаток от деления $5^{146}$ на 6 равен 1.