Диагональ прямоугольника равна 13 см, а его площадь равна 60 см². Найдите периметр прямоугольника.

Чтобы найти периметр прямоугольника, нам нужно сначала определить его длину и ширину.

Дано:

• Диагональ прямоугольника $d = 13$ см.

• Площадь прямоугольника $S = 60$ см².

Обозначим длину прямоугольника как $a$, а ширину — $b$.

Сначала воспользуемся теоремой Пифагора для диагонали прямоугольника. Теорема Пифагора говорит, что для прямоугольного треугольника, образованного длиной, шириной и диагональю прямоугольника, выполняется следующее равенство:

Подставим известные значения:

Теперь воспользуемся формулой для площади прямоугольника:

Площадь известна:

Теперь у нас есть система двух уравнений:

1. $a^2 + b^2 = 169$

2. $a \times b = 60$

Чтобы решить эту систему, выразим $b$ через $a$ из второго уравнения:

Теперь подставим это выражение для $b$ в первое уравнение:

Умножим обе части уравнения на $a^2$, чтобы избавиться от дроби:

Переносим все в одну сторону:

Пусть $x = a^2$, тогда уравнение примет вид:

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ дискриминант вычисляется по формуле:

Здесь $A = 1$, $B = -169$, $C = 3600$. Подставим значения:

Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два корня. Найдем их:

Таким образом, $x_1 = \frac{169 + 119}{2} = 144$ и $x_2 = \frac{169 - 119}{2} = 25$.

Теперь вернемся к переменной $a$. Мы знаем, что $x = a^2$, значит:

Таким образом, $a = 12$ см или $a = 5$ см. Подставим эти значения в уравнение для площади $a \times b = 60$, чтобы найти $b$:

1. Если $a = 12$, то $b = \frac{60}{12} = 5$ см.

2. Если $a = 5$, то $b = \frac{60}{5} = 12$ см.

Таким образом, длина и ширина прямоугольника равны 12 см и 5 см.

Теперь можно найти периметр прямоугольника. Периметр $P$ прямоугольника рассчитывается по формуле: