Сколько трёхзначных чисел имеют нечётное количество натуральных делителей?

Для того чтобы понять, сколько трёхзначных чисел имеют нечётное количество натуральных делителей, нужно рассмотреть, какие числа имеют нечётное количество делителей.

Число имеет нечётное количество делителей только в том случае, если оно является полным квадратом. Это связано с тем, что для большинства чисел делители идут парами: если число делится на какое-то число $d$, то также делится и на $\frac{n}{d}$. Однако для полных квадратов одно из этих чисел будет повторяться, так как $\sqrt{n} = \sqrt{n}$, и таким образом у полного квадрата количество делителей нечётное.

Теперь нам нужно найти, сколько полных квадратов существует среди трёхзначных чисел. Трёхзначные числа — это числа от 100 до 999. Нам нужно найти такие числа, которые являются полными квадратами.

Для этого определим, какие целые числа $n$ имеют квадраты в пределах от 100 до 999. То есть, нам нужно решить неравенство:

Из этого неравенства получаем:

Таким образом, $n$ может быть любым числом от 10 до 31 включительно. Числа $n^2$ для этих значений $n$ будут полными квадратами и трёхзначными. Подсчитаем количество таких чисел:

Числа от 10 до 31 включительно — это 31 - 10 + 1 = 22 числа.

Таким образом, существует 22 трёхзначных числа, которые являются полными квадратами, а значит, имеют нечётное количество делителей.