Найти корень уравнения \(25^x + 4 \cdot 5^x - 5 = 0\).

Для решения уравнения $25^x + 4 \cdot 5^x - 5 = 0$, начнем с того, что представим $25^x$ как $(5^2)^x$, то есть:

Теперь уравнение можно переписать как:

Обозначим $y = 5^x$, тогда уравнение примет вид:

Это квадратное уравнение, которое можно решить по формуле для корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

Подставим значения $a = 1$, $b = 4$, $c = -5$:

Таким образом, получаем два корня:

1. $y = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$,

2. $y = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.

Теперь возвращаемся к переменной $y = 5^x$:

1. Если $y = 1$, то $5^x = 1$, и из этого следует, что $x = 0$.

2. Если $y = -5$, то $5^x = -5$, что невозможно, так как $5^x$ всегда положительно для любых значений $x$.

Таким образом, единственный корень уравнения — это $x = 0$.