Пятизначное число, кратное 10, начинается с цифры 1. Если эту цифру перенести на место десятков, не меняя порядка остальных цифр, разделить новое число на 2 и от частного отнять 165, то получится исходное число. Найдите это число.

Обозначим исходное число как $N$. Это пятизначное число, кратное 10, и оно начинается с цифры 1. Таким образом, оно имеет вид:

где $a, b, c$ — цифры числа, и $N$ заканчивается на 0, так как оно кратно 10.

Теперь, согласно условию задачи, переносим первую цифру (1) на место десятков. После этого число примет вид:

Далее, нужно разделить новое число на 2 и отнять 165:

Подставим выражение для $N'$:

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

Преобразуем уравнение:

Переносим все выражения на одну сторону:

Упростим уравнение:

Или:

Теперь, обратим внимание на то, что $a, b, c$ — цифры числа, то есть они должны быть числами от 0 до 9. Проверим, возможно ли составить из этих цифр число 20329. Видно, что это невозможно, так как 20329 превышает пределы возможных значений для суммы цифр пятизначного числа. Таким образом, при любом заданном наборе цифр