Решите неравенство \(2x^2 - 13x + 6 < 0\).

Для решения неравенства $2x^2 - 13x + 6 < 0$ нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения.

Для этого решим уравнение $2x^2 - 13x + 6 = 0$ с помощью дискриминанта.

Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

В нашем случае $a = 2$, $b = -13$, $c = 6$. Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

Так как дискриминант положительный ($D = 121 > 0$), уравнение имеет два разных корня. Найдем их с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

Подставляем значения:

Таким образом, у нас два корня:

Шаг 2. Построим интервал на числовой оси.

Теперь, зная корни $x_1 = 6$ и $x_2 = \frac{1}{2}$, можно отметить эти точки на числовой оси. Уравнение $2x^2 - 13x + 6 = 0$ разбивает ось на три интервала:

• $(-\infty, \frac{1}{2})$

• $(\frac{1}{2}, 6)$

• $(6, +\infty)$

Шаг 3. Исследуем знаки на каждом интервале.

Чтобы понять, на каких интервалах выражение $2x^2 - 13x + 6$ отрицательно, подставим тестовые значения в неравенство на каждом из интервалов.

1. Для интервала $(-\infty, \frac{1}{2})$, например, подставим $x = 0$:

Значит, на этом интервале выражение положительно.

2. Для интервала $(\frac{1}{2}, 6)$, например, подставим $x = 1$:

Значит, на этом интервале выражение отрицательно.

3. Для интервала $(6, +\infty)$, например, подставим $x = 7$:

Значит, на этом интервале выражение положительно.

Шаг 4. Запишем решение неравенства.

Так как мы ищем, где выражение меньше нуля ($2x^2 - 13x + 6 < 0$), решение неравенства будет на интервале $(\frac{1}{2}, 6)$.

Ответ: $x \in \left(\frac{1}{2}, 6\right)$.