4 минус 2 корня из 3 и все это под общим корнем. С объяснением

Для того чтобы решить выражение $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$, давайте разберемся шаг за шагом.

1. Выражение под корнем:
   Мы имеем выражение $4 - 2\sqrt{3}$. Это подкоренное выражение.

2. Предположим, что оно имеет вид простого квадрата.
   Чтобы упростить вычисления, будем искать число $x$, которое при возведении в квадрат даст нам $4 - 2\sqrt{3}$. То есть, мы будем искать числа $a$ и $b$, такие что:

   $$(a - b\sqrt{3})^2 = 4 - 2\sqrt{3}$$

   Разворачиваем квадрат:

   $$(a - b\sqrt{3})^2 = a^2 - 2ab\sqrt{3} + 3b^2$$

   Это выражение должно равняться $4 - 2\sqrt{3}$.

3. Сравниваем коэффициенты.
   Теперь сравним коэффициенты с обеих сторон. У нас есть:

   • $a^2 + 3b^2 = 4$ (коэффициент при $\sqrt{3}$),

   • $-2ab = -2$ (коэффициент при $\sqrt{3}$).

   Решим систему уравнений:

   • $-2ab = -2$, отсюда $ab = 1$.

   • $a^2 + 3b^2 = 4$.

4. Решение системы.
   Из уравнения $ab = 1$ получаем, что $b = \frac{1}{a}$. Подставляем это в уравнение $a^2 + 3b^2 = 4$:

   $$a^2 + 3\left(\frac{1}{a}\right)^2 = 4$$

   Умножаем обе части на $a^2$:

   $$a^4 + 3 = 4a^2$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$a^4 - 4a^2 + 3 = 0$$

   Это квадратное уравнение относительно $a^2$. Обозначим $z = a^2$, тогда у нас получится:

   $$z^2 - 4z + 3 = 0$$

   Решаем это уравнение:

   $$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$$

   Таким образом, $z = 3$ или $z = 1$. То есть, $a^2 = 3$ или $a^2 = 1$, соответственно $a = \sqrt{3}$ или $a = 1$.

5. Проверка возможных значений.
   Если $a = \sqrt{3}$, то $b = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$