Решите неравенства под корнем х+1 < х-1 под корнем х+1 < х+1 под корнем х+1 > x-1 под корнем 2x+1 >x-1 под корнем 3-x>x-1

Рассмотрим каждое из данных неравенств поочередно.

1. Под корнем $\sqrt{x+1} < \sqrt{x-1}$

   Для того, чтобы эти выражения имели смысл, необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными. То есть:

   $$x + 1 \geq 0 \quad \text{и} \quad x - 1 \geq 0$$

   Из этого получаем, что $x \geq -1$ и $x \geq 1$. Следовательно, для данного неравенства условие $x \geq 1$ должно быть выполнено.

   Теперь решим неравенство:

   $$\sqrt{x+1} < \sqrt{x-1}$$

   Возведем обе стороны неравенства в квадрат (при этом сохраняется знак неравенства, так как обе стороны положительны для $x \geq 1$):

   $$x + 1 < x - 1$$

   Это неравенство не имеет решений, так как оно сводится к противоречию $1 < -1$.

   Таким образом, данное неравенство не имеет решений.

2. Под корнем $\sqrt{x+1} < \sqrt{x+1}$

   Это очевидное неравенство, так как корень не может быть меньше самого себя. Ответ: нет решений.

3. Под корнем $\sqrt{x+1} > \sqrt{x-1}$

   Условие для существования корней аналогично первому неравенству: $x \geq 1$.

   Теперь решим неравенство:

   $$\sqrt{x+1} > \sqrt{x-1}$$

   Возведем обе стороны в квадрат:

   $$x + 1 > x - 1$$

   Упростим:

   $$1 > -1$$

   Это верное утверждение, которое всегда истинно при $x \geq 1$.

   Следовательно, для любого $x \geq 1$ данное неравенство выполнено.

   Ответ: $x \geq 1$.

4. Под корнем $\sqrt{2x+1} > x-1$

   Условие для существования корня: $2x + 1 \geq 0$, то есть $x \geq -\frac{1}{2}$.

   Решим неравенство:

   $$\sqrt{2x+1} > x-1$$

   Возведем обе стороны в квадрат:

   $$2x + 1 > (x-1)^2$$

   Раскроем квадрат:

   $$2x + 1 > x^2 - 2x + 1$$

   Упростим:

   $$2x + 1 > x^2 - 2x + 1$$

   Переносим все на одну сторону:

   $$0 > x^2 - 4x$$

   Разделим на $x$ (учитывая, что $x \neq 0$):

   $$0 > x(x - 4)$$

   Это неравенство верно при $0 < x < 4$.

   Однако, нам нужно также учитывать условие существования корней, то есть $x \geq -\frac{1}{2}$. Поэтому решение: $\frac{1}{2} < x < 4$.

5. Под корнем $\sqrt{3-x} > x-1$

   Условие для существования корня: $3 - x \geq 0$, то есть $x \leq 3$.

   Решим неравенство:

   $$\sqrt{3-x} > x-1$$

   Возведем обе стороны в квадрат:

   $$3-x>(x-1{)}^2$$