Середина М стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если ВС = 14, а углы В и С четырёхугольника равны соответственно 110° и 100°.

У нас есть выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором середина стороны AD равноудалена от всех вершин. Это условие означает, что точка, являющаяся серединой стороны AD, находится на одинаковом расстоянии от всех четырёх вершин четырёхугольника.

В данной задаче известно следующее:

• $BC = 14$,

• угол $\angle B = 110^\circ$,

• угол $\angle C = 100^\circ$.

1. Рассмотрим свойство геометрии:
   Если середина стороны $AD$ равноудалена от всех вершин четырёхугольника, то такой четырёхугольник называется циркульным (или окружность можно провести через все его вершины). Это означает, что его вершины лежат на одной окружности, и таким образом, существует свойство, что противоположные углы в циркульном четырёхугольнике складываются в 180°.

2. Используем свойства противоположных углов:
   Противоположные углы четырёхугольника должны в сумме быть равны 180°. Из этого следует:

   $$\angle A + \angle C = 180^\circ.$$

   Так как $\angle C = 100^\circ$, то угол $\angle A$ будет равен:

   $$\angle A = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ.$$

3. Рассмотрим угол $\angle D$:
   Также, по свойству противоположных углов:

   $$\angle B + \angle D = 180^\circ.$$

   Так как $\angle B = 110^\circ$, то угол $\angle D$ будет равен:

   $$\angle D = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ.$$

4. Рассмотрим треугольник с центром окружности:
   Теперь нам нужно использовать факт, что середина стороны $AD$ равноудалена от всех вершин. Эта точка является центром описанной окружности четырёхугольника. Для нахождения длины стороны $AD$ можно воспользоваться теоремой о том, что длина хорды (в данном случае стороны $AD$) в окружности пропорциональна синусу угла, образованного в центре окружности.

5. Применяем формулы:
   Исходя из полученных углов и информации о длине стороны $BC = 14$, можно построить уравнение для вычисления длины стороны $AD$, используя соответствующие геометрические формулы для циркульных четырёхугольников.

   На основе данных углов и теорем можно заключить, что длина стороны $AD$ будет равна $14$ (так как радиусы окружности, описывающей четырёхугольник, равны).