cos2x = sinx найти корни уравнения, принадлежащие интервалу от (0; 180 градусов)

Ответы на вопрос

Отвечает Асқаров Ахмет.

Рассмотрим уравнение:

\cos(2x) = \sin(x)

Для начала воспользуемся формулой для удвоенного угла для косинуса:

\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)

Теперь подставим это в исходное уравнение:

\cos^2(x) - \sin^2(x) = \sin(x)

Переносим все в одну сторону уравнения:

\cos^2(x) - \sin^2(x) - \sin(x) = 0

Теперь воспользуемся тем, что $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$ , и подставим это в уравнение:

(1 - \sin^2(x)) - \sin^2(x) - \sin(x) = 0

Упростим:

1 - 2\sin^2(x) - \sin(x) = 0

Это квадратное уравнение относительно $\sin(x)$ . Обозначим $\sin(x)$ как $y$ , и уравнение примет вид:

1 - 2y^2 - y = 0

Теперь решим это квадратное уравнение относительно $y$ . Для этого используем формулу для решения квадратного уравнения:

y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(-2)(1)}}{2(-2)}

y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{-4}

y = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{-4}

y = \frac{1 \pm 3}{-4}

Таким образом, получаем два возможных значения для $y$ :

y_1 = \frac{1 - 3}{-4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}

y_2 = \frac{1 + 3}{-4} = \frac{4}{-4} = -1

Теперь возвращаемся к $\sin(x)$ . Получаем два случая:

Рассмотрим каждый случай на интервале $(0; 180^\circ)$ :

$\sin(x) = \frac{1}{2}$ при $x = 30^\circ$ (так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ ).
$\sin(x) = -1$ при $x = 270^\circ$ , но на интервале $(0; 180^\circ)$ это значение не лежит.

Таким образом, корень уравнения, принадлежащий интервалу $(0; 180^\circ)$ , — это:

x = 30^\circ

Ответы на вопрос