Sin2x=корень из 3*cos(3п/2-x)

Давайте решим уравнение $\sin(2x) = \sqrt{3} \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)$.

1. Преобразуем правую часть уравнения:
   Используем формулу для косинуса разности:

   $$\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)\cos(x) + \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\sin(x)$$

   Известно, что $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$ и $\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$, поэтому:

   $$\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = 0 \cdot \cos(x) - 1 \cdot \sin(x) = -\sin(x)$$

   Таким образом, уравнение преобразуется в:

   $$\sin(2x) = \sqrt{3} \cdot (-\sin(x))$$

   Это можно записать как:

   $$\sin(2x) = -\sqrt{3} \cdot \sin(x)$$

2. Используем формулу для синуса двойного угла:
   Напоминаем, что $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Подставляем это в уравнение:

   $$2\sin(x)\cos(x) = -\sqrt{3} \sin(x)$$

3. Решаем уравнение:
   Если $\sin(x) \neq 0$, можно поделить обе стороны на $\sin(x)$, получив:

   $$2\cos(x) = -\sqrt{3}$$

   Отсюда:

   $$\cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

4. Находим $x$:
   Задача сводится к нахождению углов, для которых $\cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это значение косинуса достигается при углах:

   $$x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}, \quad x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$$

   Это решения в интервале $[0, 2\pi]$.

   Поскольку косинус периодичен, общее решение имеет вид:

   $$x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

5. Рассматриваем случай $\sin(x) = 0$:
   Если $\sin(x) = 0$, то $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. Подставим это в исходное уравнение:

   $$\sin(2k\pi) = \sqrt{3} \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{2} - k\pi\right)$$

   Слева $\sin(2k\pi) = 0$, а справа $\sqrt{3} \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{2} - k\pi\right) = \sqrt{3} \cdot \sin(k\pi) = 0$