Решите показательное неравенство (0,2)^(2х - 3)(х - 2) > 5.

Чтобы решить показательное неравенство $(0,2)^{2x - 3}(x - 2) > 5$, начнем с анализа его структуры.

Шаг 1: Разберем показатели

Неравенство состоит из двух частей: показательной функции $(0,2)^{2x - 3}$ и линейного множителя $(x - 2)$.

1. Показательная функция:

   $$(0,2)^{2x - 3}$$

   Число $0,2$ является основанием с показателем степени. Мы знаем, что $0,2$ меньше 1, и выражение $(0,2)^{2x - 3}$ будет уменьшаться с увеличением $x$, так как при степени с основанием меньше 1 функция убывает.

2. Линейный множитель:

   $$(x - 2)$$

   Этот множитель изменяется в зависимости от значения $x$. Он будет положительным, когда $x > 2$, и отрицательным, когда $x < 2$.

Шаг 2: Рассмотрим два случая

Неравенство $(0,2)^{2x - 3}(x - 2) > 5$ можно решить, разбив его на два случая:

Случай 1: $x > 2$

Когда $x > 2$, множитель $(x - 2) > 0$, и мы рассматриваем выражение $(0,2)^{2x - 3}(x - 2)$. Показательная часть будет уменьшаться, а линейный множитель увеличиваться.

Для этого случая:

Преобразуем неравенство:

Теперь рассмотрим, что происходит с двумя частями. Показательная функция убывает при увеличении $x$, а правое выражение $\frac{5}{x - 2}$ растет, но также убывает при больших $x$, так как знаменатель растет.

Для того чтобы найти точку пересечения, можно решить это неравенство численно или графически, но проще заметить, что левая часть $(0,2)^{2x - 3}$ уменьшится настолько, что правая часть $\frac{5}{x - 2}$ превысит её на большем $x$.

Случай 2: $x < 2$

Когда $x < 2$, множитель $(x - 2) < 0$, и неравенство превращается в:

Это неравенство всегда будет истинным, так как произведение двух отрицательных чисел (показательная функция всегда положительна для действительных чисел $x$, а $(x - 2)$ отрицательно) всегда остается отрицательным и не может быть больше 5.

Шаг 3: Ответ

На основе анализа, решения неравенства можно выразить следующим образом:

Таким образом, решение неравенства $(0,2)^{2x - 3}(x - 2) > 5$ — это $x > 2$.