sinx+cosx=0

Решим уравнение $\sin x+\cos x=0$.

Способ 1 (через тождество):

Значит,

Отсюда

Способ 2 (деление на $\cos x$ с проверкой):

Общее решение для $\tan x=-1$:

Проверка случаев $\cos x=0$ (то есть $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$) даёт $\sin x+\cos x=\pm1\ne0$, значит лишних корней нет.

Ответ: $x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$ (в градусах: $x=-45^\circ+180^\circ n$).