А)cos²x - sinx = √2sin(x + π/4) Б)Определите, какие из его корней принадлежат отрезку [-4π; -π/2]

Решу по шагам.

А) Решение уравнения

Заметим, что $\sqrt2\,\sin\!\left(x+\frac\pi4\right)=\sin x+\cos x$. Тогда уравнение эквивалентно

Введём стандартную подстановку $t=\tan\frac x2$ (формулы Вейерштрасса):

Подставляя и приводя к общему знаменателю, получаем

Отсюда два случая:

1. $t=0\Rightarrow \tan\frac x2=0\Rightarrow x=2\pi k,\; k\in\mathbb Z$.

2. $t$ — корень кубики $t^3-2t^2-t-2=0$. У неё единственный действительный корень

Тогда

Итак, общее решение:

Б) Корни на отрезке $[-4\pi;\,-\tfrac\pi2]$

1. Семейство $x=2\pi k$: неравенство $-4\pi\le 2\pi k\le -\frac\pi2$ даёт $k\in\{-2,-1\}$.

2. Семейство $x=\alpha+2\pi k$ с $\alpha\approx2{,}4221$: требуется