Мастерская к определённому сроку должна выпустить 5400 пар обуви. Фактически она выпускала в день на 30 пар больше плана и выполнила заказ на 9 дней раньше срока. За сколько дней был выполнен заказ?

Чтобы найти, за сколько дней был выполнен заказ, нужно сначала определить, сколько пар обуви планировалось выпускать в день.

1. Пусть x — это количество пар обуви, которое мастерская должна была выпускать в день по плану. Тогда общее количество пар, которое должно быть выпущено, равно 5400. Следовательно, планируемое количество дней для выполнения заказа будет $\frac{5400}{x}$.

2. Фактически, мастерская выпускала на 30 пар больше в день, то есть $x + 30$ пар. Она выполнила заказ на 9 дней раньше, то есть фактическое количество дней для выполнения заказа составило $\frac{5400}{x + 30}$.

3. Из условия задачи известно, что она выполнила заказ на 9 дней раньше, значит, разница между планируемым и фактическим временем выполнения заказа составляет 9 дней. Тогда можно записать уравнение:

4. Умножим обе части уравнения на $x(x + 30)$, чтобы избавиться от дробей:

5. Упростим уравнение:

6. Разделим обе части уравнения на 9:

7. Переносим все в одну сторону:

8. Решаем квадратное уравнение с помощью формулы:

где $a = 1$, $b = 30$, $c = -18000$. Подставляем значения:

9. Из двух корней выбираем положительный:

Итак, по плану мастерская должна была выпускать 120 пар обуви в день.

10. Теперь находим, за сколько дней был выполнен заказ. Мастерская выпускала 120 + 30 = 150 пар в день, и общее количество пар — 5400. Следовательно, фактическое количество дней выполнения заказа:

Ответ: заказ был выполнен за 36 дней.