Из сотрудников фирмы 16 были во Франции, 10 в Италии, 6 в Англии. В Англии и Италии были 5 человек, в Англии и Франции — 6, во всех трёх странах — 5 человек. Сколько человек были в Италии и Франции, если на фирме всего 19 человек и каждый из них был хотя бы в 1 из этих стран?

Задача сводится к вычислению числа сотрудников, которые были одновременно в Италии и Франции.

Обозначим количество людей, которые были в Италии и Франции как $x$. Мы знаем следующие данные:

• В общей сложности на фирме 19 человек.

• 16 человек были во Франции.

• 10 человек были в Италии.

• 6 человек были в Англии.

• 5 человек были в Англии и Италии.

• 6 человек были в Англии и Франции.

• 5 человек были в Англии, Франции и Италии.

Используем принцип включений-исключений для подсчета числа людей, которые были хотя бы в одной из этих стран.

1. Количество людей, которые были в Франции, Италии и Англии:

Где:

• $|F| = 16$ (количество людей во Франции),

• $|I| = 10$ (количество людей в Италии),

• $|A| = 6$ (количество людей в Англии),

• $|F \cap I| = x$ (количество людей, которые были и в Италии, и во Франции),

• $|F \cap A| = 6$ (количество людей, которые были и во Франции, и в Англии),

• $|I \cap A| = 5$ (количество людей, которые были и в Италии, и в Англии),

• $|F \cap I \cap A| = 5$ (количество людей, которые были во всех трех странах).

Теперь подставим все известные значения:

Упростим:

Таким образом, $x = 2$, то есть 2 человека были и в Италии, и во Франции.