Найти НОК и НОД чисел: а) 180 и 120; б) 280 и 360; в) 48 и 72.

Для нахождения НОД (наибольший общий делитель) и НОК (наименьшее общее кратное) чисел используем следующие алгоритмы:

1. НОД чисел

Для нахождения НОД двух чисел можно использовать алгоритм Евклида, который заключается в том, что НОД двух чисел равен НОД меньшего числа и остатка от деления большего числа на меньшее. Этот процесс продолжается до тех пор, пока остаток от деления не станет равен 0. Тогда НОД равен последнему ненулевому остаточному числу.

2. НОК чисел

НОК чисел можно найти по формуле:

где $a$ и $b$ — это два числа, а НОД — их наибольший общий делитель.

Теперь решим задачи по порядку.

а) 180 и 120

1. Находим НОД:
   Применяем алгоритм Евклида:

   $$180 \div 120 = 1 \text{ (остаток 60)}$$ $$120 \div 60 = 2 \text{ (остаток 0)}$$

   НОД(180, 120) = 60.

2. Находим НОК:

   $$НОК(180, 120) = \frac{180 \times 120}{60} = 360$$

Ответ для (а):

• НОД = 60

• НОК = 360

б) 280 и 360

1. Находим НОД:
   Применяем алгоритм Евклида:

   $$360 \div 280 = 1 \text{ (остаток 80)}$$ $$280 \div 80 = 3 \text{ (остаток 40)}$$ $$80 \div 40 = 2 \text{ (остаток 0)}$$

   НОД(280, 360) = 40.

2. Находим НОК:

   $$НОК(280, 360) = \frac{280 \times 360}{40} = 2520$$

Ответ для (б):

• НОД = 40

• НОК = 2520

в) 48 и 72

1. Находим НОД:
   Применяем алгоритм Евклида:

   $$72 \div 48 = 1 \text{ (остаток 24)}$$ $$48 \div 24 = 2 \text{ (остаток 0)}$$

   НОД(48, 72) = 24.

2. Находим НОК:

   $$НОК(48, 72) = \frac{48 \times 72}{24} = 144$$

Ответ для (в):

• НОД = 24

• НОК = 144